Criterio 5- Construcción de paralelogramos L4-L5

L4.

L5.

Paralelogramos de papel (trabajo voluntario)

Materiales de ayuda:

Criterio 2- 3-4 TRIÁNGULOS L2-L3

L2. Puntos notables del triángulo.

Vídeo de ayuda (al final del post)

L3. Composición con triángulos

Algunos ejemplos:

Ejemplos encontrados en distintas páginas de internet:

 Vídeo de ayuda:

Trabajo complementario

Composición abstracta con triángulos

ÁNGULOS CONSTRUCCIÓN

 En muchas ocasiones tenemos la necesidad de construir ángulos y no disponemos de un transportador de ángulos.

A continuación veremos cómo se construyen ángulos determinados usando el compás o la escuadra y el cartabón:

Para la construción de un gran número de ángulos, podemos realizar distintos procedimientos según las herramientas que utilicemos. De esta forma, y según las herramientas que utilicemos, las construcciones serán:

• A. Utilizando el compás.
• B. Utilizando la escuadra y el cartabón.

A. Utilizando el compás

---

2.2.1. Construcción de un ángulo de 90º.

OPERACIONES

1. Desde el punto O de la semirecta Or, utilizando el compás, se traza un arco con un radio cualquiera. El arco corta a la semirecta Or en el punto 1.
2. Desde el punto 1, con la misma abertura del compás, se traza un arco, obteniendo el punto 2. De igual manera obtengo el punto 3.
3. Utilizando los puntos 2 y 3, realizo otro arco con la misma abertura del compás, obteniendo el punto 4.
4. Al unir el punto 4 con el punto O, consigo la recta perpendicular a la semirecta Or en el extremo de la semirecta.

.

2.2.2. Construcción de un ángulo de 45º.

Partiendo del ángulo de 90º construido anteriormente, trazamos la bisectriz del ángulo y obtenemos el ángulo de 45º.

.

.

.

.

.

2.2.3. Construcción de un ángulo de 22º 30′.

Si nos piden la construcción de un ángulo de 22º 30′, tendremos que fijarnos que esta medida es la mitad del ángulo de 45º. Para construir este ángulo habrá que dividir el ángulo de 45º en dos partes iguales, o lo que es lo mismo, trazar la bisectriz del ángulo de 45º.

.

.

2.2.4. Construcción de un ángulo de 60º.

Partimos del ángulo de 90º.

OPERACIONES:

1. Con una abertura cualquiera del compás y pinchando en el vértice del ángulo de 90º (vértice O), trazamos un arco que corta a la recta r en el punto 1.
2. Pinchando con el compás en 1, trazamos un arco CON LA MISMA abertura que habíamos utilizado en el arco anterior. Corta al arco anterior en 2.
3. Unimos 2 con el vértice del ángulo (O) y obtenemos el ángulo de 60º.

.

2.2.5. Construcción de un ángulo de 30º.

En este caso partimos del ángulo de 60º. Trazamos la bisectriz del ángulo de 60º y obtenemos el ángulo de 30º.

.

.

.

.

.

2.2.6. Construcción de un ángulo de 15º.

De la misma forma que en el caso anterior, en este caso partimos del ángulo de 30º. Trazamos la bisectriz del ángulo de 30º y obtenemos el ángulo de 15º.

.

.

.

.

B. Utilizando la escuadra y el cartabón

---

También podemos construir un gran número de ángulos utilizado los ángulos proporcionados por la escuadra y cartabón. Sabiendo que la escuadra tiene un ángulo de 90º y dos de 45º y el cartabón tiene ángulos de 30º, 60º y 90º, algunas de las construcciones que se pueden hacer son:

2.2.7. Construir un ángulo de 22º 30′.

Partiendo del ángulo de 45 que tiene una escuadra, podemos utilizar este ángulo para, por medio de la bisectriz, conseguir el ángulo de 22º 30′ .

.

.

.

.

2.2.8. Construir un ángulo de 75º.

Podríamos llegar a este ángulo sabiendo que uno de los ángulos de la escuadra es 45º y uno de los ángulos del cartabón es 30º. Sumando ambos, obtenemos el ángulo de 75º.

.

.

.

.

2.2.9. Construir un ángulo de 67º 30′.

Si sumamos el ángulo de 90 º del cartabón con los 45º de la escuadra tendremos un ángulo de 135º. Al trazar la bisectriz de este ángulo, obtenemos el ángulo de 67º 30′.

.

.

.

.

.

.

.

.

2.2.10. Construir un ángulo de 7º 30′.

Al coger el ángulo de 60º del cartabón y quitarle los 45º de la escuadra obtenemos un ángulo de 15º. Al trazar la bisectriz de este ángulo, obtenemos el ángulo que nos piden (7º 30′).

ÁNGULOS OPERACIONES

 Los ángulos, como ya se ha vistos, son porciones de espacio encerradas entre dos líneas (lados del ángulo) que se cortan en un punto llamado vértice. Los ángulos permiten que se hagan una serie de operaciones con ellos.

2.1.1. Transladar o transportar un ángulo.

Las operaciones con ángulos se basan en poder trasladar un ángulo de un lugar a otro. Por este motivo, la operación de transportar un ángulo es muy importante.

En este apartado veremos cómo trasladar un ángulo de un sitio a otro. Existen varias formas de hacer esta operación, incluso utilizando un transportador de ángulo. Con el transportador de ángulos, tendríamos que medir el ángulo y construir el mismo ángulo en el sitio que nos pidan.

En este caso, veremos cómo se resuelve gráficamente este problema, es decir, utilizando una regla y un compás.

OPERACIONES

1. Nos dan cómo dato el ángulo A y nos piden que traslademos el ángulo sobre la recta r y a partir del punto A’.
2. Cogiendo un compás, pinchamos sobre el vértice A y abrimos el compás con una medida cualquiera. Trazamos un arco que corte los dos lados del ángulo. Obtenemos los puntos 1 y 2.
3. Con la misma abertura del compás utilizada para la operación anterior, se traza otro arco en el punto A’. El arco trazado corta a la recta r en el punto 1′.
4. Utilizando el compás, cogemos la distancia que hay entre 1 y 2. Pinchamos en 1 y abrimos el compás hasta 2. Con esta medida del compás, vamos al punto 1′ y trazamos un arco sobre el arco que teníamos. Obtenemos el punto 2′.
5. Unimos el vértice A’ y el punto 2′ y tendremos el ángulo transportado.

.

2.1.2. Suma de ángulos.

Conociendo bien la operación anterior, las siguientes seon muy sencillas. Para sumar ángulos, tan solo habrá que trasladar los ángulos uno a continuación de otro.

En este caso, nos piden sumar los ángulos A, B y C

OPERACIONES:

1. Nos dan como dato los ángulos A, B y C, y nos piden que los sumemos a partir de un punto O que está situado en la recta r.
2. Deberemos trasladar los ángulos, uno a continuación del otro, partiendo del primero (ángulo A).
3. Con una abertura cualquiera del compás, se traza un arco en los ángulos A, B y C. También, con la misma abertura, trazamos otro arco en el punto O.
4. Obtenemos unos puntos que me servirán de ayuda para la realización de la suma que nos piden. Estos puntos son: en el A, tendremos 1 y 2; en el B, tendremos 3 y 4 y en el C, tendremos 5 y 6. Además, en la recta r y con el punto O, tendré el punto 1′.
5. Se toman las medidas de cada uno de los ángulos. Con el compas, cogemos la abertura que tiene el ángulo A. Pinchamos en 1 y abrimos el compás hasta 2.
6. Con esta abertura del compás, vamos al punto 1′ y trazamos un arco. Obtenemos el punto 2′.
7. Repetimos los pasos 5 y 6 para los ángulos B y C. Obtenemos los puntos 4′ y 6′.
8. Si unimos la recta r hasta el punto O, y este con 6′, tenemos el ángulo suma A+B+C. Si unimos los puntos 2′, 4′ y 6′ con O tendremos los ángulos originales A, B y C trasladados a este punto para hayar la suma.

.

2.1.3. Restar al ángulo A el ángulo B.

Se trata de la misma forma que la suma, pero en vez de llevar el ángulo a “continuación”, se lleva “hacia atrás”. Las operaciones, por tanto, son similares a las de la suma. Habrá que tener en cuenta que el segundo ángulo habrá que llevarlo hacia atrás, hacia el inicio.

OPERACIONES

1. Nos dan como dato los ángulos A y B, y nos piden que hayemos la diferencia, es decir, que al mayor (ángulo A) le quitemos el menor (ángulo B) y veamos cual es el resultado. Nos piden que lo hagamos a partir de un punto O que está situado en la recta r.
2. Deberemos trasladar el ángulo A. Con una abertura cualquiera del compás, se traza un arco en los ángulos A y B. También, con la misma abertura, trazamos otro arco en el punto O.
3. Obtenemos unos puntos que me servirán de ayuda para la realización de la suma que nos piden. Estos puntos son: en el A, tendremos 1 y 2; en el B, tendremos 3 y 4. Además, en la recta r y con el punto O, tendré el punto 1′.
4. Con el compas, cogemos la abertura que tiene el ángulo A. Pinchamos en 1 y abrimos el compás hasta 2.
5. Con esta abertura del compás, vamos al punto 1′ y trazamos un arco. Obtenemos el punto 2′.
6. Cogemos la abertura del ángulo B y lo llevamos a partir de 2′, pero en vez de hacerlo a continuación del que habíamos construido, lo hacemos hacia atras, volviendo hacia el 1′. Tenemos el punto 4′.
7. El ángulo resta (A-B) será el formado por la recta r, vertice O y el lado formado por 4′ y O.

2.1.5. Dividir un ángulo en dos partes iguales. BISECTRIZ.

La bisectriz es la línea que divide el ángulo en dos partes iguales. Esta propiedad hace que el trazado de la bisectriz sea muy importante.

Nos plantean el siguiente ejercicio: nos dan el ángulo A y nos piden dividirlo en 2 partes iguales, es decir, nos piden trazar la bisectriz del ángulo A

OPERACIONES.

1. Pinchando con el compás en el vértice del ángulo A y abriendo el compás la medida que se quiera, se traza un arco que corta a los lados del ángulo en los puntos 1 y 2.
2. Ahora cogemos una abertura del compás, algo superior a la mitad del arco 1-2. La abertura puede ser cualquiera pero tiene que ser algo mayor al citado arco.
3. Con esta abertura se trazar un arco desde 1 y otro desde 2. Se cortan en el punto 3.
4. Uniendo 3 con el vértice del ángulo A, obtenemos la BISECTRIZ.